+ P(x) chia hết cho x + 1

⇔ P(-1) = 0

⇔   m . ( - 1 ) 3   +   ( m   –   2 ) ( - 1 ) 2   –   ( 3 n   –   5 ) . ( - 1 )   –   4 n   =   0

⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0

⇔ -n – 7 = 0

⇔ n = -7 (1)

+ P(x) chia hết cho x – 3

⇔ P(3) = 0

⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0

⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0

⇔ 36m – 13n = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

+ P(x) chia hết cho x + 1

⇔ P(-1) = 0

⇔ m.(-1)3 + (m – 2)(-1)2 – (3n – 5).(-1) – 4n = 0

⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0

⇔ -n – 7 = 0

⇔ n = -7 (1)

+ P(x) chia hết cho x – 3

⇔ P(3) = 0

⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0

⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0

⇔ 36m – 13n = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

http://lazi.vn/edu/exercise/biet-rang-da-thuc-px-chia-het-cho-da-thuc-x-a-khi-va-chi-khi-pa-0-hay-tim-cac-gia-tri-cua-m-va-n

Bài tham khảo:

P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0.

P(x) chia hết cho x - 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.

⇔ ⇔

⇔

\(f\left(x\right)⋮\left(x+1\right)\)tức là chia hết cho \(\left[x-\left(-1\right)\right]\)

Do đó: \(f\left(-1\right)=0\Rightarrow n=-7\)

Tương tự, \(f\left(x\right)⋮\left(x-3\right)\)nên \(f\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow36m-13n-3=0\)

Giải hệ\(\hept{\begin{cases}n=-7\\36m-13n-3=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=-7\\m=\frac{-22}{9}\end{cases}}\)

a)

Để \(x^4-x^3+6x^2-x+a⋮x^2-x+5\) thì \(a-5=0\Rightarrow a=5\)

b)

Để \(3n^3+10n^2-5⋮3n+1\) thì \(3n+1⋮-4\)

\(\Rightarrow3n+1\inƯ\left(-4\right)\)

\(\Rightarrow3n+1\in\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow3n\in\left\{-5;-3;-2;0;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-\dfrac{5}{3};-1;-\dfrac{2}{3};0;\dfrac{1}{3};1\right\}\)

Theo bài ta có :

\(P\left(x\right)⋮\left(x-1\right)\) \(\Rightarrow P\left(1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m+m+1-4n-3+5n=0\)

\(\Leftrightarrow2m+n=2\) (1)

Lại có \(P\left(x\right)⋮\left(x+2\right)\Rightarrow P\left(-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m+4\left(m+1\right)-\left(4n+3\right).\left(-2\right)+5n=0\)

\(\Leftrightarrow8m+13n=-12\) (2)

Giải hệ (1) và (2) suy ra \(m=\frac{19}{9};n=\frac{-20}{9}\)